Dieser Text beschreibt Parallelenaxiom.
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Parallelenaxiom ArtikelDas Parallelenaxiom ist ein Axiom der euklidischen Geometrie.
Es besagt: "Wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei rechte, dass dann die beiden Geraden, in das Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die kleiner als zwei rechte sind."
Eine andere Formulierung ist: "Zu einer gegebenen Geraden gibt es durch einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden exakt eine Parallele."
Schon seit Euklid herrschte Unbehagen über dieses Axiom, da es nicht so einfach ist wie die anderen euklidischen Axiome.
Es gab viele Versuche, dieses Axiom aus den anderen Axiomen herzuleiten.
Der Versuch, dieses Axiom zu beweisen, indem man aus seiner Nichtgültigkeit einen Widerspruch konstruiert, führte schließlich zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien.
Hierbei gibt es mehrere Möglichkeiten, das Axiom zu ersetzen, z.B.:
- Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele (je zwei Geraden schneiden sich)
- Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mehrere Parallelen.
Die erste Möglichkeit führt zur elliptischen Geometrie, die zweite zur hyperbolischen.
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